杨辉三角敬佩许多东说念主皆不生疏，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它是一个无穷对称的数字金字塔痴迷系列，从顶部的单个1运行，底下一溜中的每个数字皆是上头两个数字的和。
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1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩，证明“杨辉三角”请盘算（a+b）6的伸开式中从左起第四项的统统为（ ）
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…
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A．10 B．15 C．20 D．25
解：找规矩发现（a+b）4的第四项统统为4＝3+1；
（a+b）5的第四项统统为10＝6+4；
∴（a+b）6的第四项统统为20＝10+10．
故选：C．
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2．我国宋朝数学家杨辉在他的文章《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩．
举例：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…
请你猜念念（a+b）9的伸开式中整个统统的和是（ ）
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A．2018 B．512 C．128 D．64
解：伸开式共有n+1项，统统和为2n．
∴（a+b）9的伸开式中整个统统的和是：29＝512
3．我国宋朝数学家杨辉在他的文章《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩．举例：（a+b）0＝1，它唯有一项，统统为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，统统分辨为1，1，统统和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，统统分辨为1，2，1，统统和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，统统分辨为1，3，3，1，统统和为8；…证明以上规矩，（a+b）n伸开式的统统和为 ．
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解：（a+b）0＝1，统统为1，20＝1
（a+b）1＝a+b，统统和为2，21＝2
（a+b）2＝a2+2ab+b2，统统和为4，22＝4
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，统统和为8，23＝8，
..．
（a+b）n伸开式的统统和为：2n，
故谜底为：2n．
4．我国宋朝数学家杨辉在他的文章《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩．
举例：（a+b）0＝1，它唯有一项，统统为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，统统分辨为1，1，统统和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，统统分辨为1，2，1，统统和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，统统分辨为1，3，3，1，统统和为8；
…
证明以上规矩，解答下列问题：
（1）（a+b）4伸开式共有 项，统统分辨为 ；
（2）写出（a+b）5的伸开式：（a+b）5＝ ；
（3）（a+b）n伸开式共有 项，统统和为 ．
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【分析】（1）本题通过阅读表现寻找规矩，不雅察可得（a+b）n（n为非负整数）伸开式的各项统统的规矩：首尾两项统统皆是1，中间各项统统等于（a+b）n﹣1相邻两项的统统和．因此可得（a+b）4的各项统统分辨为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；
（2）由（1）得出的规矩，即可得出效果；
（3）证明题意得出（a+b）n伸开式共有（n+1）项，当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n即可．
解：（1）证明题意知，（a+b）4的伸开后，共有5项，
各项统统分辨为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；
故谜底为：5，1，4，6，4，1；
（2）证明题意得：（a+b）5的伸开式为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故谜底为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（3）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．
故谜底为：（n+1），2n．
5．我国宋朝数学家杨辉在他的文章《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩．
举例：
（a+b）0＝1，它唯有一项，统统为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，统统分辨为1，1，统统和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，统统分辨为1，2，1，统统和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，统统分辨为1，3，3，1，统统和为8；
…
证明以上规矩，解答下列问题：
（1）（a+b）4伸开式共有 项，统统分辨为 ；
（2）（a+b）n伸开式共有 项痴迷系列，统统和为 ．
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【分析】历程不雅察发现，这些数字构成的三角形是等腰三角形，两腰上的数皆是1，从第3走运行，中间的每一个数皆等于它肩上两个数字之和，伸开式的项数比它的指数多1．证明上头不雅察的规矩很容易解答问题．
解：（1）伸开式共有5项，伸开式的各项统统分辨为1，4，6，4，1，
（2）伸开式共有n+1项，统统和为2n．
故谜底为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）（n+1），2n．
6．我国古代数学家在数学发展史上硕果累累，“杨辉三角”即是其中一项，如图1左侧数字部分即是“杨辉三角”的局部，它揭示了（a+b）n（n为非负整数）的伸开式的项数及各项统统的联系规矩．请你不雅察，并证明此规矩写出：（a+b）5＝ ．
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【分析】历程不雅察发现，这些数字构成的三角形是等腰三角形，两腰上的数皆是1，从第3走运行，中间的每一个数皆等于它肩上两个数字之和，伸开式的项数比它的指数多1．证明上头不雅察的规矩很容易解答问题．
解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故谜底为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
7．南宋数学家杨辉在其文章《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩如图，后东说念主也将如图表称为“杨辉三角”．
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…
则（a+b）2020伸开式中整个项的统统和是 （效果用指数幂暗示）．
【分析】通过阅读表现寻找规矩，不雅察可得（a+b）n（n为非负整数）伸开式的各项统统的规矩：首尾两项统统皆是1，中间各项统统等于（a+b）n﹣1相邻两项的统统和．
解：伸开式共有n+1项，统统和为2n．
∴（a+b）2020的伸开式中整个统统的和是：22020．
故谜底为：22020．
8．阅读底下的材料，解答下列问题：
我国宋朝数学家杨辉在他的文章《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩．
（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
证明以上规矩，解答下列问题：
（1）（a+b）4伸开式共有 项，第二项统统为 ；统统和为 ．
（2）证明上述规矩，将（a+b）5伸开；
国产偷拍自拍在线（3）运用上述规矩盘算：993+3×992+3×99+1．
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【分析】（1）本题通过阅读表现寻找规矩，不雅察（a+b）n伸开式的各项统统的规矩，即可求解；
（2）不雅察（a+b）n伸开式的各项统统的规矩，即可求解；
（3）将原式写成“杨辉三角”的伸开式体式，即可得效果．
解：（1）由“杨辉三角”规矩可知：（a+b）4伸开式的统统分辨为1，4，6，4，1，
∴（a+b）4伸开式共五项，第二项统统为4，统统和＝1+4+6+4+1＝16，
故谜底为：5，4，16；
（2）证明题意得：（a+b）5伸开式的统统分辨为，1，5，10，10，5，1，
∴（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（3）993+3×992+3×99+1
＝（99+1）3
＝1003
＝106．
9．我国宋朝数学家杨辉在他的文章《详解九章算法》中建议“杨辉三角”，如图所示，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩．举例：（a+b）0＝1，它唯有1项，统统为1；（a+b）1＝a+b，它有2项，统统分辨为1，1，统统和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有3项统统分辨为1，2，1，统统和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有4项，统统分辨为1，3，3，1，统统和为8…．
证明以上规矩，解答下列问题．
（1）（a+b）4的伸开式共有 项，统统分辨为 ．
（2）（a+b）n的伸开式共有 项，统统和为 ．
（3）盘算：25+5×24+10×23+10×22+5×2+1．
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【分析】（1）证明图形可得（a+b）4的各项统统分辨为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1；
（2）通过阅读表现寻找规矩，不雅察可得（a+b）n（n为非负整数）伸开式的各项统统的规矩：首尾两项统统皆是1，中间各项统统等于（a+b）n﹣1相邻两项的统统和，因此即可得出效果；
（3）证明（2）可得原式＝（2+1）5，再盘算即可．
解：（1）证明题意知，（a+b）4的伸开后，共有5项，
各项统统分辨为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；
故谜底为：5；1，4，6，4，1；
（2）证明题意，得（a+b）n的伸开式共有（n+1）项，
（a+b）0的统统和为1＝20，
（a+b）1的统统和为2＝21，
（a+b）2的统统和为4＝22，
（a+b）3的统统和为8＝23，
⋯，
由此规矩可得，（a+b）n的统统和为2n．
∴（a+b）n的伸开式共有（n+1）项，统统和为2n．
故谜底为：（n+1），2n；
（3）25+5×24+10×23+10×22+5×2+1＝（2+1）5＝243．
10．我国宋朝数学家杨辉在他的文章《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩．
举例：（a+b）0＝1，它唯有一项，统统为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，统统分辨为1，1，统统和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，统统分辨为1，2，1，统统和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，统统分辨为1，3，3，1，统统和为8；…证明以上规矩，解答下列问题：
（1）（a+b）4伸开式共有 项，统统分辨为 ；
（2）（a+b）n伸开式共有 项，统统和为 ．
（3）证明上头的规矩，写出（a+b）5的伸开式．
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【分析】（1）本题通过阅读表现寻找规矩，不雅察可得（a+b）n（n为非负整数）伸开式的各项统统的规矩：首尾两项统统皆是1，中间各项统统等于（a+b）n﹣1相邻两项的统统和．因此可得（a+b）4的各项统统分辨为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；
（2）证明题意得出（a+b）n伸开式共有（n+1）项，当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n即可．
（3）由（1）得出的规矩，即可得出效果．
解：（1）证明题意知，（a+b）4的伸开后，共有5项，
各项统统分辨为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；
故谜底为：5，1，4，6，4，1
（2）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．
故谜底为：n+1，2n．
（3）证明题意得：（a+b）5的伸开式为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
11．我国宋朝数学家杨辉在他的文章《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩．
举例：（a+b）0＝1，它唯有一项，统统为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，统统分辨为1，1，统统和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，统统分辨为1，2，1，统统和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，统统分辨为1，3，3，1，统统和为8；
…
证明以上规矩，解答下列问题：
（1）（a+b）4伸开式共有 项，统统分辨为 ；
（2）（a+b）n伸开式共有 项，统统和为 ．
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【分析】本题通过阅读表现寻找规矩，不雅察可得（a+b）n（n为非负整数）伸开式的各项统统的规矩：首尾两项统统皆是1，中间各项统统等于（a+b）n﹣1相邻两项的统统和．因此可得（a+b）4的各项统统分辨为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：1、4、6、4、1．
解：（1）证明题意知，（a+b）4的伸开后，共有5项，
各项统统分辨为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；
（2）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．
故谜底为：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．
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12．我国宋朝数学家杨辉在他的文章《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩．
举例：（a+b）0＝1，它唯有一项，统统为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，统统分辨为1，1，统统和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，统统分辨为1，2，1，统统和为4；
证明以上规矩，解答下列问题：
（1）（a+b）5伸开式共有 项，统统和为 ．
（2）求（2a﹣1）5的伸开式；
（3）运用表中规矩盘算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（无须表中规矩盘算不给分）；
（4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为 ．
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【分析】（1）细腻读懂图1，写出下一溜数字，填空即可；
（2）按照统统，伸开式的书写体式伸开即可；
（3）读懂表中的数据规矩，不错把算式写出（2﹣1）5的体式，再盘算；
（4）让x取迥殊值，盘算出a1+a2+a3+…+a16+a17的值．
解：（1）证明图表中的规矩，
可得：（a+b）5伸开式共有 6项，统统和为 1+5+10+10+5+1＝32，
故谜底为：6，32；
（2）（2a﹣1）5
＝25a5+5×24a4（﹣1）+10×23a3（﹣1）2+10×22a2（﹣1）3+5×2a（﹣1）4+（﹣1）5
＝32a5﹣80a4+80a3﹣40a2+10a﹣1；
（3）证明图表中数据的规矩不错发现：
25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，
∴25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝1；
（4）∵（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，
∴当x＝1时，
（1+1）17＝a0+a1+a2+a3+…+a16+a17，
当x＝0时，
（0+1）17＝a0＝1，
∴217＝1+a1+a2+a3+…+a16+a17，
∴a1+a2+a3+…+a16+a17的值为217﹣1．
故谜底为：217﹣1．
13．我国宋朝数学家杨辉在他的文章《详解九章算法》中建议“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）伸开式的项数及各项统统的联系规矩．
举例：（a+b）0＝1，它唯有一项，统统为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，统统分辨为1，1，统统和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，统统分辨为1，2，1，统统和为4；
证明以上规矩，解答下列问题：
（1）（a+b）5伸开式的统统和是 ；（a+b）n伸开式的统统和是 ．
（2）当a＝2时，（a+b）5伸开式的统统和是 ；（a+b）n伸开式的统统和是 ．
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【分析】（1）证明杨辉三角找出统统和的规矩求解．
（2）迥殊值法求解．
解：（1）由杨辉三角得：
（a+b）²的统统和为：1+2+1＝4＝2²，
（a+b）³的统统和为：1+3+3+1＝8＝2³，
···，
（a+b）5伸开式中各项的统统和为：25＝32，
（a+b）n的伸开式中各项的统统和为：2n．
故谜底为：32，2n．
（2）当a＝2时，（a+b）²＝（2+b）²＝4+4b+b²，统统和为：4+4+1＝9＝3²，
当a＝2时，（a+b）³＝2³+3×2²×b+3×2×b²+b³，统统和为：8+12+6+1＝27＝3³，
∴以此类推：当a＝2，（a+b）5＝35＝243，（a+b）n伸开式的统统和是3n．
故谜底为：243痴迷系列，3n．
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